Question

13．求函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-2x+3}{{x}^{2}-x+2}$的值域．

Answer 1

分析 可將原函數(shù)整理成關(guān)于x的方程的形式：（y-1）x²+（2-y）x+2y-3=0，方程有解，可討論y=1和y≠1：y=1時，容易判斷出滿足方程有解；而y≠1時，方程為一元二次方程，方程有解，便有△≥0，這樣解不等式即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：由原函數(shù)得：yx²-yx+2y=x²-2x+3，整理得：
（y-1）x²+（2-y）x+2y-3=0，看成關(guān)于x的方程，方程有解；
①若y=1，則x-1=0，滿足方程有解；
②若y≠1，則△=（2-y）²-4（y-1）（2y-3）≥0；
解得$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}≤y≤\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$；
∴原函數(shù)的值域為：[$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}，\frac{8+2\sqrt{2}}{7}$]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函數(shù)的值域求法：整理成關(guān)于x的方程，根據(jù)方程有解求，一元二次方程有解時判別式△的取值情況．