Question

8．求函數(shù)值域．
（1）f（x）=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$；
（2）f（x）=$\sqrt{1-x}$-$\sqrt{x+3}$．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)y=f（x），從而有y=$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}$，兩邊平方便可得到${y}^{2}=4+2\sqrt{-（x+1）^{2}+4}$，這樣可求出y²的范圍，再開方便可得出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域；
（2）求導(dǎo)數(shù)，并可得到f′（x）＜0，這便說明f（x）在[-3，1]上單調(diào)遞減，從而f（1）≤f（x）≤f（-3），這樣即可得出原函數(shù)的值域．

解答 解：（1）設(shè)y=f（x），y=$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}$，兩邊平方得：
${y}^{2}=4+2\sqrt{（1-x）（x+3）}$=$4+2\sqrt{-（x+1）^{2}+4}$；
0≤-（x+1）²+4≤4；
∴$0≤\sqrt{-（x+1）^{2}+4}≤2$；
∴4≤y²≤8，y＞0；
∴$2≤y≤2\sqrt{2}$；
∴原函數(shù)的值域為：$[2，2\sqrt{2}]$；
（2）$f′（x）=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}-\frac{1}{2\sqrt{x+3}}＜0$；
∴函數(shù)f（x）在[-3，1]上單調(diào)遞減；
∴f（1）≤f（x）≤f（-3）；
即-2≤f（x）≤2；
∴原函數(shù)的值域為：[-2，2]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，要求y的范圍，先求y²的范圍的方法，配方法求二次函數(shù)的值域，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域．