Question

已知三棱錐 S-ABC 的底面是正三角形，A 點在側(cè)面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心，二面角 H-AB-C 的平面角等于30°，SA=2．那么三棱錐 S-ABC 的體積為

9

4

3

．

Answer 1

分析：作BH⊥SC于E，設(shè)S在面ABC內(nèi)射影為O，則O為△ABC的垂心，且為△ABC的中心，可證∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，進(jìn)而利用體積公式，可得結(jié)論．

解答：解：由題設(shè)，AH⊥面SBC，作BH⊥SC于E．
由三垂線定理可知SC⊥AE，SC⊥AB，所以SC⊥面ABE．
設(shè)S在面ABC內(nèi)射影為O，則SO⊥面ABC．
由三垂線定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．
同理，BO⊥AC，故O為△ABC的垂心．
又因為△ABC是等邊三角形，故O為△ABC的中心，從而SA=SB=SC=2．
因為CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂線定理，EF⊥AB． 
所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，故∠EFC=30°，
∴OC=SCcos60°=1，
∴SO=

3

tan60°=

3

．
又OC=

3

3

AB，故AB=

3

OC=

3

．
所以，V_S-ABC=

2 3

3

．

點評：本題考查三棱錐體積的計算，考查三垂線定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．