設(shè)數(shù)列{an}、{bn}滿足a1=4，a2=
5
2
，an+1=
an+bn
2
，bn+1=
2anbn
an+bn
．
（Ⅰ） 證明：anbn=4
（Ⅱ） 證明：an＞2，0＜bn＜2（n∈N*）；
（Ⅲ）設(shè)cn=log3
an+2
an-2
，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．
分析：（Ⅰ）將已知條件，兩式相乘，可得{anbn}為常數(shù)列，從而可得結(jié)論；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知bn=
4
an
，則an+1=
1
2
(an+
4
an
)＞2，利用基本不等式可得結(jié)論；
（Ⅲ）利用cn=log3
an+2
an-2
，代入計(jì)算，可得{cn}為等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．
解答：（Ⅰ）證明：∵an+1=
an+bn
2
，bn+1=
2anbn
an+bn

∴兩式相乘得anbn=an+1bn+1，
∴{anbn}為常數(shù)列，
∴anbn=a1b1=4；…（4分）
（Ⅱ） 證明：由（Ⅰ）知bn=
4
an
，
∴an+1=
1
2
(an+
4
an
)＞2（若an=2，則an+1=2，從而可得{an}為常數(shù)列與a1=4矛盾），
∴an＞2，∴0＜bn＜2；…（8分）
（Ⅲ）解：∵cn=log3
an+2
an-2
，
∴cn+1=log3
an+1+2
an+1-2
=log3
1
2
an+
2
an
+2
1
2
an+
2
an
-2
=log3(
an+2
an-2
)2=2log3(
an+2
an-2
)=2cn
又因?yàn)閏1=1，∴{cn}為等比數(shù)列，
∴cn=2n-1…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的判定，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和是Sn，存在常數(shù)A，B使an+Sn=An+B對(duì)任意正整數(shù)n都成立．
（1）設(shè)A=0，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若p＜q，且
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
，求p，q的值．
（3）設(shè)A＞0，A≠1，且
an
an+1
≤M對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求M的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0，4an+1=4an+2
4an+1
+1，令bn=
4an+1
．
（1）試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列？并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令Tn=
b1×b3×b5×…×b(2n-1)
b2×b4×b6×…b2n
，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式Tn
bn+1
＜
2
log2(a+1)對(duì)一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）比較bnbn+1與bn+1bn的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3…，其中A，B為常數(shù)．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an=5n-4
an=5n-4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn
（1）證明：當(dāng)b=2時(shí)，{an-n•2n-1}是等比數(shù)列；
（2）求{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=an+b（n∈N*，a＞0）．?dāng)?shù)列{bn}定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b10；
（2）若a=2，b=-1，求數(shù)列{bm}的前2m項(xiàng)和公式．

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