Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項的和，且2S_n=a_n²+a_n．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）設(shè)b_n=a_n•2 an，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1，求出首項，再由當(dāng)n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1，即可得到a_n=a_n-1+1，由等差數(shù)列的通項公式，即可得到通項；
（2）運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，注意運用等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到．

解答： 解：（1）由2S₁=a₁²+a₁，得a₁=1，
當(dāng)n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1．
又a_n＞0，則a_n=a_n-1+1，
則{a_n}以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
故a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）b_n=a_n•2 an=n•2ⁿ，
則T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
則T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．