Question

（2012•洛陽(yáng)模擬）已知f(x)=ax+

b

x

+2-2a(a＞0)的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f(x)=ax+

b

x

+2-2a(a＞0)的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2，可得a，b滿足的關(guān)系式；
（2）令g(x)=f(x)-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞)，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=a-

b

x2

，
根據(jù)題意f(x)=ax+

b

x

+2-2a(a＞0)的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2．
∴f′（1）=a-b=2
∴b=a-2
（2）由（1）知，f(x)=ax+

a-2

x

+2-2a(a＞0)，
令g(x)=f(x)-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞)
則g（1）=0，g′(x)=a-

a-2

x2

-

2

x

=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

2-a

a

＞1，
若1＜x＜

2-a

a

，則g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）減函數(shù)，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1時(shí)，

2-a

a

≤1，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函數(shù)，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
綜上所述，所求a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．