Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁≠0，常數(shù)λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a₁＞0，λ=100，當(dāng)n為何值時(shí)，數(shù)列$\{lg\frac{1}{a_n}\}$的前n項(xiàng)和最大？

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）令n=1，得$λa_1^2=2{S_1}=2{a_1}，{a_1}（λ{(lán)a_1}-2）=0$，因?yàn)閍₁≠0，所以${a_1}=\frac{2}{λ}$，當(dāng)n≥2時(shí)，$2{a_n}=\frac{2}{λ}+{S_n}$，$2{a_{n-1}}=\frac{2}{λ}+{S_{n-1}}$，兩式相減得2a_n-2a_n-1=a_n（n≥2），
所以a_n=2a_n-1（n≥2），從而數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
所以${a_n}={a_1}•{2^{n-1}}=\frac{2^n}{λ}$．
（2）當(dāng)a₁＞0，λ=100時(shí)，由（1）知，a_n=$\frac{{2}^{n}}{100}$，
b_n=lg$\frac{1}{{a}_{n}}$=$lg\frac{100}{{2}^{n}}$=2-nlg2．
所以數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，公差為-lg2，所以${b_1}＞{b_2}＞…＞{b_6}=lg\frac{100}{2^6}=lg\frac{100}{64}＞lg1=0$，
當(dāng)n≥7時(shí)，${b_n}≤{b_7}=lg\frac{100}{2^7}＜lg1=0$，所以數(shù)列$\{lg\frac{1}{a_n}\}$的前6項(xiàng)和最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．