Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）求PD與平面EFD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理證明線面平行．
（2）利用線面垂直的判定定理證明PB⊥平面EFD，得到∠PDF是PD與平面EFD所成的角．然后根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)EO，
因?yàn)锳BCD是正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
在三角形PAF中，EO是中位線，
所以PA∥EO，
而EO?面EDB，且PA?面EDB，
所以PA∥平面EDB；
解：（2）因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DC
在底面正方形中，DC⊥BC，
所以BC⊥面PDC，而DE?面PDC，
所以BC⊥DE，
又PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC，
所以DE⊥面PBC，而PB?面PBC，
所以DE⊥PB，
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，
所以PB⊥平面EFD．
則∠PDF是PD與平面EFD所成的角，
因?yàn)镻D=DC=2，
所以BD=2$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{4+8}=\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
則$\frac{1}{2}$PD•BD=$\frac{1}{2}$PB•DF，
則DF=$\frac{PD•BD}{PB}$=$\frac{2×2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{4-（\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}）^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{8}{3}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則tan∠PDF=$\frac{PF}{DF}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判定以及利用線面垂直得到線面所成的角，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．