Question

9．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于圓O，以B、C為切點的圓O的兩條切線交于點D，AD交圓O于點E．
（Ⅰ）證明：四邊形ABDC為菱形；
（Ⅱ）若DE=2，求等邊三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°，△DBC是等邊三角形，即可證明四邊形ABDC為菱形；
（Ⅱ）由切割線定理求出AB，即可求等邊三角形ABC的面積．

解答 （Ⅰ）證明：由弦切角定理可得∠DBC=∠DCB=∠BAC=60°，
∴△DBC是等邊三角形
∴四邊形ABDC為菱形；
（Ⅱ）解：設(shè)AB=2x，則AE=$\frac{4}{\sqrt{3}}$x，
由切割線定理可得DB²=DE•DA，
∴4x²=2（2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$x），
∴x=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴等邊三角形ABC的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查菱形的證明，考查切割線定理的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．