Question

7．已知$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-{log_2}x$，實數a，b，c滿足f（a）•f（b）•f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，若實數x₀是函數f（x）的一個零點，那么下列不等式中，不可能成立的是（　�。�

• A． x₀＜a
• B． x₀＞b
• C． x₀＜c
• D． x₀＞c

Answer 1

分析 由指數函數與對數函數的單調性可得f（x）在（0，+∞）上單調遞減，結合f（x₀）=0，可得當x＜x₀時，f（x）＞0，當x＞x₀時，f（x）＜0，由此可得x₀＞c不可能成立．

解答 解：∵$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-{log_2}x$在（0，+∞）上單調遞減，
又實數x₀是函數f（x）的一個零點，
∴當x＜x₀時，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-{log_2}x＞0$；
當x＞x₀時，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}-{log_2}x$＜0．
∵f（a）•f（b）•f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，
∴x₀＞c不可能成立．
故選：D．

點評 本題考查函數零點判定定理，考查函數單調性的性質，是中檔題．