Question

8．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+||x-1|．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log₂（|2x+1|+||x-1|-a）的定義域為全體實數(shù)R，求實數(shù)a的取值范圍；當(dāng)值域是全體實數(shù)R時，求出實數(shù)a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）當(dāng)函數(shù)g（x）=log₂（|2x+1|+||x-1|-a）的定義域為全體實數(shù)R，可得f（x）的最小值f（-$\frac{1}{2}$）＞a，由此求得a的范圍．
當(dāng)值域是R時，函數(shù)f（x）=|2x+1|+||x-1|能夠取遍所有的正數(shù)，再根據(jù)f（-$\frac{1}{2}$）-a≤0，求得a的范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）＜2，即|2x+1|+||x-1|＜2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+1-x＜2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x＜1}\\{2x+1+1-x＜2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x+1+x-1＜2}\end{array}\right.$③．
解①求得-$\frac{2}{3}$＜x＜-$\frac{1}{2}$，解②求得-$\frac{1}{2}$x＜0，解③求得x∈∅．
綜上可得-$\frac{2}{3}$＜x＜0，故原不等式的解集為{x|-$\frac{2}{3}$＜x＜0}．
（2）由函數(shù)g（x）=log₂（|2x+1|+||x-1|-a）的定義域為全體實數(shù)R，
可得|2x+1|+||x-1|-a＞0 恒成立，即|2x+1|+||x-1|＞a 恒成立，
故f（x）的最小值f（-$\frac{1}{2}$）＞a，即 a＜$\frac{3}{2}$．
當(dāng)值域是全體實數(shù)R時，函數(shù)f（x）=|2x+1|+||x-1|能夠取遍所有的正數(shù)，
故f（x）的最小值f（-$\frac{1}{2}$）-a≤0，求得 a≥$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．