已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,a2=6
(1)對于任意的正自然數(shù)n,設(shè)點Pn(an,
Sn
n
-3)
在直線E上,求直線E的方程;
(2)設(shè)數(shù)列{bn},其中anbn=2,問從{bn}中是否能選出無窮項,按原來的順序排成等比數(shù)列{cn},使{cn}的各項和等于
1
2
?若能,請說明理由并求出數(shù)列{cn}的第一項和公比,若不能,請說明理由.
分析:(1)an=4n-2,Sn=2n2,n∈N*,所以Pn(4n-2,2n-3),由此能求出曲線E的方程.
(2)bn=
2
an
,假設(shè)存在一個等比數(shù)列{cn}:設(shè)其首項為c1=
2
ar
=
2
4r-2
,第二項為c2=
2
as
=
2
4s-2
,則公比為q=
2
4s-2
2
4r-2
=
4r-2
4s-2
=
2r-1
2s-1
,由此可知存在唯一的等比數(shù)列{cn},首項為c1=
2
4r-2
=
1
3
,公比為q=
4r-2
4s-2
=
1
3
解答:解:(1)an=4n-2,Sn=2n2,n∈N*(2分)
所以Pn(4n-2,2n-3)
設(shè)Pn(x,y),則
x=4n-2
y=2n-3
,
得x-2y-4=0即為曲線E的方程 (4分)
(2)bn=
2
an
,假設(shè)存在一個等比數(shù)列{cn}:設(shè)其首項為c1=
2
ar
=
2
4r-2
,(r∈N*)
第二項為c2=
2
as
=
2
4s-2
,(s∈N*,r<s),(5分)
則公比為q=
2
4s-2
2
4r-2
=
4r-2
4s-2
=
2r-1
2s-1
,0<q<1,(6分)
所以得
2
4r-2
1-
2r-1
2s-1
=
2s-1
(2r-1)(2s-2r)
=
1
2
(7分)
所以s=
2r2-r-1
2r-3
=
(2r+1)(r-1)
2r-3
=(1+
4
2r-3
)(r-1)

因為r、s∈N*,
所以存在唯一的r=2,s=5(9分)
所以存在唯一的等比數(shù)列{cn},
首項為c1=
2
4r-2
=
1
3
,
公比為q=
4r-2
4s-2
=
1
3
(11分)
點評:本題考查不等式和數(shù)列的綜合運用,解題時要認真審題,仔細解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an},公差d不為零,a1=1,且a2,a5,a14成等比數(shù)列;
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an3n-1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}中:a3+a5+a7=9,則a5=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}滿足:a5=11,a2+a6=18.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若bn=an+q an(q>0),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;     
(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和;
(3)求數(shù)列{
an2n-1
}的前n項和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知等差數(shù)列{an}中,a4a6=-4,a2+a8=0,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若{an}為遞增數(shù)列,請根據(jù)如圖的程序框圖,求輸出框中S的值(要求寫出解答過程).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案