精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f（x）滿足f（1）=1，對于任意的實數x，y都滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1，若x∈N*，則函數f（x）的解析式為（ ）
A．f（x）=4x2-4x+1
B．f（x）=4x2+1
C．f（x）=x2-5x-5
D．f（x）=x2+3x-3
【答案】分析：先根據賦值法結合已知條件得到f（x+1）-f（x）=2x+4；再結合疊加法即可求出結論．
解答：解：由題意得：在f（x+y）=f（x）+f（y）+2（x+y）+1中令y=1，
則有f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4；
則f（x+1）-f（x）=2x+4；
所以：f（2）-f（1）=2×1+4；
f（3）-f（2）=2×2+4；
…
f（x）-f（x-1）=2（x-1）+4．
∴上面各式相加得：f（x）-f（1）
=2×1+2×2+…+2×（x-1）+4（x-1）
=2×+4（x-1）
=x2+3x-4；
∴f（x）=f（1）+x2+3x-4=x2+3x-3．
故選：D．
點評：本題主要考察抽象函數及其應用以及疊加法求通項的應用．解決本題的關鍵在于根據賦值法結合已知條件得到f（x+1）-f（x）=2x+4．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*時，求f（n）的表達式；
（2）設bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x） 滿足f（x+4）=x3+2，則f-1（1）等于（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數．
（1）當x≥0時，曲線y=f（x）在點M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時恒成立，求t的取值范圍；
（3）設函數h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數m∈Z，且m＞1，試判定函數h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內的零點個數，并作出證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•珠海二模）已知函數f（x）滿足：當x≥1時，f（x）=f（x-1）；當x＜1時，f（x）=2x，則f（log27）=（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習冊答案