Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n，正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}滿足：b₁=a₁-1，且b₄=2b₂+b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足：c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，其前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出首項(xiàng)，利用a_n=S_n-S_n-1，求解a_n，設(shè){b_n}的公比為q，由題意得q＞0，且b₁=a₁-1，且b₄=2b₂+b₃．求解數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)c_n，由錯(cuò)位相減法求解前n項(xiàng)和，推出結(jié)果即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}={S_1}={1^2}+2×1=3$，當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)也適合上式，所以a_n=2n+1．
設(shè){b_n}的公比為q，由題意得q＞0，且${b_1}={a_1}-1=2，{b_4}=2{b_2}+{b_3}∴{b_2}{q^2}=2{b_2}+{b_2}q$，
∴q²-q-2=0∴q=2或q=-1（舍去），
故數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為${b_n}={2^n}$．
（Ⅱ）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}=\frac{2n+1}{2^n}$由錯(cuò)位相減法得${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$，∵$\frac{2n+5}{2^n}＞0∴{T_n}＜5$，
又${c_n}=\frac{2n+1}{2^n}＞0∴{T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．