Question

2．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，直線2x-y+2=0交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q．
（1）若直線AB過焦點F，求拋物線C的方程；
（2）若QA⊥QB，求p的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出直線2x-y+2=0與y軸的交點坐標，即可得拋物線焦點坐標，進而可得拋物線的方程；
（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得x²-4px-4p=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將QA⊥QB轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得$5{x_1}{x_2}+（4-6p）（{x_1}+{x_2}）+8{p^2}-8p+4=0$，代入得4p²+3p-1=0，解可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，直線2x-y+2=0與y軸的交點為（0，2），
則F（0，2），
∴拋物線C的方程為x²=8y；
（2）由 $\left\{\begin{array}{l}y=2x+2\\{x^2}=2py\end{array}\right.$得：x²-4px-4p=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4p，x₁x₂=-4p，
∴Q（2p，2p），∵QA⊥QB，則$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，
（x₁-2p）（x₂-2p）+（y₁-2p）（y₂-2p）=0，
（x₁-2p）（x₂-2p）+（2x₁+2-2p）（2x₂+2-2p）=0，
$5{x_1}{x_2}+（4-6p）（{x_1}+{x_2}）+8{p^2}-8p+4=0$，
代入得4p²+3p-1=0，解得$p=\frac{1}{4}$或p=-1（舍去）
∴$p=\frac{1}{4}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是由拋物線焦點坐標求出拋物線的方程．