Question

1．在國家批復(fù)成立江北新區(qū)后，南京市政府規(guī)劃在新區(qū)內(nèi)的一條形地塊上新建一個(gè)全民健身中心，規(guī)劃區(qū)域?yàn)樗倪呅蜛BCD，如圖OP∥AQ，OA⊥AQ，點(diǎn)B在線段OA上，點(diǎn)C、D分別在射線OP與AQ上，且A和C關(guān)于BD對(duì)稱．已知OA=2，
（1）若OC=1，求BD的長；
（2）問點(diǎn)C在何處時(shí)，規(guī)劃區(qū)域的面積最��？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）利用RtOAC≌RtADB列出比例式即可得出BD；
（2）設(shè)OC=a，OB=b，根據(jù)AB=BC得出a，b的關(guān)系，求出a的范圍，利用（1）中的比例式求出BD，得出規(guī)劃區(qū)域的面積S關(guān)于a的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出面積的最小值．

解答 解：（1）∵OC=1，OA=2，∴AC=$\sqrt{5}$，
設(shè)OB=x，則AB=2-x，BC=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∵BD是AC的中垂線，
∴BC=AB，即2-x=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，解得x=$\frac{3}{4}$．
∴AB=$\frac{5}{4}$．
∵AC⊥BD，OC⊥OA，OA⊥AD，
∴RtOAC≌RtADB，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OC}{AB}$，即$\frac{\sqrt{5}}{BD}=\frac{1}{\frac{5}{4}}$，解得BD=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$．
（2）設(shè)OC=a，OB=b，則AB=2-b，BC=$\sqrt{^{2}+{a}^{2}}$，AC=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
由AB=BC得2-b=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，∴b=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴AB=1+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
由b≥0得：0＜a≤2．
由（1）得$\frac{AC}{BD}=\frac{OC}{AB}$，即$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}}{BD}=\frac{a}{1+\frac{{a}^{2}}{4}}$，∴BD=$\frac{{a}^{2}+4}{4a}•\sqrt{{a}^{2}+4}$，
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}AC•BD$=$\frac{（{a}^{2}+4）^{2}}{8a}$=$\frac{1}{8}$a³+a+$\frac{2}{a}$，
令f（a）=$\frac{1}{8}$a³+a+$\frac{2}{a}$，則f′（a）=$\frac{3}{8}{a}^{2}$+1-$\frac{2}{{a}^{2}}$=$\frac{3{a}^{4}+8{a}^{2}-16}{8{a}^{2}}$，
令f′（a）=0得a²=$\frac{4}{3}$，即a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)0＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f′（a）＜0，當(dāng)$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜a≤2時(shí)，f′（a）＞0，
∴f（a）在（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（a）取得最小值f（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{16\sqrt{3}}{9}$．
∴當(dāng)OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，規(guī)劃區(qū)域面積最小，最小面積為$\frac{16\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形，函數(shù)的單調(diào)性與最值計(jì)算，屬于中檔題．