Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab．當(dāng)x∈（-3，2）時，f（x）＞0，當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)，求θ的取值范圍；
（3）不等式（t-2）f（x）≥t²+（m-2）t-2m+2對x∈[-1，1]及t∈[-1，1]時恒成立，求實數(shù)m的取范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得 a＜0，且-3和2是方程f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab=0 的2個實數(shù)根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解得a和b的值，即可求得f（x）的解析式
（2）由于函數(shù)=-x²+2tanθx+5 的對稱軸為 x=tanθ，且在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)，可得tanθ≤1，由此求得θ 的范圍．
（3）由題意可得可得 （6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m≥0 對x∈[-1，1]及t∈[-1，1]時恒成立．故函數(shù)h（x）=（6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m 在[-1，1]上的最小值為h（-）=（-m）t+2m-≥0對t∈[-1，1]恒成立．故有 （-m）×1+2m-≥0 且（-m）（-1）+2m-≥0，由此求得m 的范圍．
解答：解：（1）由題意可得 a＜0 且-3和2是方程f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab=0 的2個實數(shù)根，
∴-3+2=，且-3×2=，解得 a=-3，b=5，∴f（x）=-3x²-3x+18．
（2）若函數(shù)=-x²+2tanθx+5 的對稱軸為 x=tanθ，且在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)，
故有 tanθ≤1，∴θ∈（kπ-，kπ+），k∈z．
（3）不等式（t-2）f（x）≥t²+（m-2）t-2m+2對x∈[-1，1]及t∈[-1，1]時恒成立，
可得 （6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m≥0 對x∈[-1，1]及t∈[-1，1]時恒成立．
把x當(dāng)作自變量，可得此一元二次不等式對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱軸為x=-，
故函數(shù)h（x）=（6-3t）x²+（6-3t）x+（20-m）t-38+2m 在[-1，1]上的最小值為h（-）=（-m）t+2m-≥0對t∈[-1，1]恒成立．
故有 （-m）×1+2m-≥0 且 （-m）（-1）+2m-≥0，求得 m≥．
點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．