Question

探究函數(shù)f(x)＝2x＋－3，x∈(0，＋∞)上的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	14	7	5.33	5.11	5.01	5	5.01	5.04	5.08	5.67	7	8.6	12.14	…

(1)觀察表中y值隨x值變化趨勢的特點，請你直接寫出函數(shù)f(x)＝2x＋－3在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)區(qū)間，并指出f(x)的最小值及此時x的值．

(2)用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)＝2x＋－3在區(qū)間(0，2]上的單調(diào)性；

(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋－3在區(qū)間(0，a]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達式．

Answer 1

(1)由表中可知f(x)在(0，2]為減函數(shù)，[2，＋∞)為增函數(shù)，          

并且當(dāng)x＝2時，f(x)_min＝5．                                        ……5分

(2)證明：設(shè)0＜x₁＜x₂≤2，

因為f(x₁)－f(x₂)＝2x₁＋－3－(2x₂＋－3)＝2(x₁－x₂)＋＝，

因為0＜x₁＜x₂≤2，所以x₁－x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂－4＜0．

所以f(x₁)－f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)．

所以f(x)在(0，2]為減函數(shù)．                                        ……10分

(3)由(2)可證：函數(shù)f(x)＝2x＋－3在區(qū)間(0，2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增．則

①當(dāng)0＜a＜2時，(0，a]⊆(0，2]，所以函數(shù)f(x)＝2x＋－3在區(qū)間(0，a]上單調(diào)遞減，

故f(x)_min＝f(a)＝2a＋－3；                                        

②當(dāng)a≥2時，函數(shù)f(x)＝2x＋－3在區(qū)間(0，2]上單調(diào)遞減，[2，a]上單調(diào)遞增，

故f(x)_min＝f(2)＝5；

綜上所述，函數(shù)f(x)＝2x＋－3在區(qū)間(0，a]上的最小值為

g(a)＝                                         ……16分