Question

已知函數(shù)f(x)=x-2a

x

在（0，1）上為減函數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性（指出單調(diào)區(qū)間）；
（2）當a＞0時，如果f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）當a=2時，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]內(nèi)恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數(shù)得：f′（x）=1-

a

x

，根據(jù)函數(shù)f(x)=x-2a

x

在（0，1）上為減函數(shù)．得出f′（x）=1-

a

x

≤0在（0，1）上恒成立，得到a的取值范圍，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）得a≥1，又g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得出a≤1，從而得出a的值；
（3）當a=2時，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]內(nèi)恒成立，再分離出2b：2b≤x+

1

x3

-

lnx

x

，設h（x）=x+

1

x3

-

lnx

x

，它在（0，1）上是減函數(shù)，只須2b小于h（1）即可求出b的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=x-2a

x

，∴f′（x）=1-

a

x

，
∵函數(shù)f(x)=x-2a

x

在（0，1）上為減函數(shù)．
∴f′（x）=1-

a

x

≤0在（0，1）上恒成立，
∴a≥1．
f′（x）=1-

a

x

＞0得：x＞a²，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（a²，+∞），減區(qū)間為（0，a²）
（2）由（1）得a≥1，
又g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函數(shù)，
∴g′（x）=2x-

2a

x

≥0在（1，2）上恒成立，
⇒a≤x²，⇒a≤1，
∴a=1．
（3）當a=2時，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]內(nèi)恒成立，
即：x²-4lnx≥2bx-

1

x 2

，
2b≤x+

1

x3

-

lnx

x

，設h（x）=x+

1

x3

-

lnx

x

，它在（0，1）上是減函數(shù)，
∴2b≤h（1）⇒2b≤2，⇒b≤1．
∴b的取值范圍b≤1．

點評：本小題主要考查函數(shù)恒成立問題\函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．