Question

11．正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角B-A₁C-A的大小為60°．

Answer 1

分析 連結A₁B、A₁D，在平面A₁BC上作BE⊥A₁C，垂足E，根據(jù)二面角平面角的定義證明BEO是二面角B-A₁C-A的平面角，根據(jù)三角形的邊角關系進行求解即可．

解答 解：連結A₁B、A₁D，在平面A₁BC上作BE⊥A₁C，垂足E，連結DE，BD，AC，AC和BD交于O，連EO，
∵BC⊥平面ABB₁A₁，
A₁B?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥A1B，
△A₁BC是Rt△，同理△A₁DC也是Rt△，
則Rt△A₁BC≌Rt△A₁DC，
則DE⊥A₁C，
即連接OE，則∠BEO是二面角B-A₁C-A的平面角，
設棱長為1，A₁B=$\sqrt{2}$，A₁C=$\sqrt{3}$，
△A₁BC的面積S=$\frac{1}{2}$BE•A₁C=$\frac{1}{2}$A₁B•BC，
BE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則DE=BE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BD=$\sqrt{2}$，
BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在△BEO中，
sin∠OEB=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則∠OEB=60°，
∴二面角B-A₁C-A的大小為60°．
故答案為：60°

點評 本題主要考查二面角的求解，根據(jù)二面角的定義求出二面角的平面角是解決本題的關鍵．考查學生的推理能力，本題也可以建立坐標系，利用向量法進行求解．