Question

6．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E、F分別是A′B′和AB的中點(diǎn)．求：
（1）異面直線(xiàn)A′F與CE所成的角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）直線(xiàn)A′F與平面ABC′D′所成的角的大�。�（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（3）二面角A-CE-F的大�。�

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線(xiàn)A′F與CE所成的角的大�。�
（2）求出$\overrightarrow{{A}^{'}F}$和平面ABC′D′的法向量，利用向量法能求出直線(xiàn)A′F與平面ABC′D′所成的角的大�。�
（3）求出平面ACE的法向量和平面CEF的法向量，利用向量法能求出二面角A-CE-F的大�。�

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A′（2，0，2），F(xiàn)（2，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
$\overrightarrow{{A}^{'}F}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{CE}$=（2，-1，2），
設(shè)異面直線(xiàn)A′F與CE所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{A}^{'}F}$，$\overrightarrow{CE}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}F}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}F}|•|\overrightarrow{CE}|}$
=$\frac{5}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴異面直線(xiàn)A′F與CE所成的角的大小為arccos$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
（2）$\overrightarrow{{A}^{'}F}$=（0，1，-2），A（2，0，0），B（2，2，0），D′（0，0，2），
$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{A{D}^{'}}$=（-2，0，2），
設(shè)平面ABC′D′的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AB}=2{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{A{D}^{'}}=-2{x}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，0，1），
設(shè)直線(xiàn)A′F與平面ABC′D′所成的角為α，
則sinα=|cos＜$\overrightarrow{{A}^{'}F}$，$\overrightarrow{p}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}F}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}F}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直線(xiàn)A′F與平面ABC′D′所成的角的大小為arcsin$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（3）A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），F(xiàn)（2，1，0），
$\overrightarrow{CE}$=（2，-1，2），$\overrightarrow{CA}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{CF}$=（2，-1，0），
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{1}{2}$），
設(shè)平面CEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=2a-b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=2a-b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，0），
設(shè)二面角A-CE-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{9}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-CE-F的大小為arccos$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成角的大小的求法，考查線(xiàn)面角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．