Question

18．如圖是一塊直角梯形園地ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，經(jīng)測最，AB=14m，CD=10m，∠ABC=60°，擬過線段AB上一點E設(shè)計一條直路EF（點F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度），將該園地分為面積之比為3：1的左、石兩部分分別種植不同花卉．設(shè)EB=x，EF=y（單位：m）
（1）當(dāng)點F與點C重合時，試確定點E的位置；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）請確定點E，F(xiàn)的位置，使直路EF長度最短．

Answer 1

分析 （1）點F與點C重合時，求出兩個三角形的面積，根據(jù)面積之比建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)EB=x，EF=y，根據(jù)面積之比建立方程關(guān)系，進行整理即可．
（3）根據(jù)一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)，求出EF的最值，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)點F與點C重合時，h=CO=$\sqrt{3}$（14-10）=4$\sqrt{3}$，
四邊形DABC的面積S₁=$\frac{（14-x）+10}{2}×4\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$（24-x），
△CEB的面積S₂=$\frac{4\sqrt{3}x}{2}$=2$\sqrt{3}$x，
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}（24-x）}{2\sqrt{3}x}$=$\frac{3}{1}$，即24-x=3x，
則4x=24，x=6，
則BE=6，AE=8；
（2）四邊形DAEF的面積S₁=$\frac{[（14-x）+（14-x）+\sqrt{{y}^{2}-48}]×4\sqrt{3}}{2}$=$\frac{（28-2x+\sqrt{{y}^{2}-48}）}{2}×4\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$（28-2x+$\sqrt{{y}^{2}-48}$），
四邊形FEBC的面積S₂=$\frac{[（x-4）-\sqrt{{y}^{2}+48}+x]×4\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（2x-4-$\sqrt{{y}^{2}-48}$），
∵$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{3}{1}$，∴S₁=3S₂，
即2$\sqrt{3}$（28-2x+$\sqrt{{y}^{2}-48}$）=3×2$\sqrt{3}$（2x-4-$\sqrt{{y}^{2}-48}$
即28-2x+$\sqrt{{y}^{2}-48}$=6x-12-3$\sqrt{{y}^{2}-48}$），
則4$\sqrt{{y}^{2}-48}$=8x-40，
則y²=4x²-40x+148，即y=$\sqrt{4{x}^{2}-40x+148}$=2$\sqrt{{x}^{2}-10x+37}$．
（3）∵y=2$\sqrt{{x}^{2}-10x+37}$=2$\sqrt{（x-5）^{2}+12}$，
∴當(dāng)x=5時，y最小為y=2$\sqrt{12}$=4$\sqrt{3}$，此時EF的最小值為4$\sqrt{3}$，
此時BE=5，AE=9，F(xiàn)C=1，DF=9．

點評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．