已知函數(shù)f(x)=loga
1-mx
x-1
(a>0,a≠1)
是奇函數(shù).
(1)求m的值;
(2)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);
(3)討論f(x)的單調(diào)性,并用定義證明;
(4)當f(x)定義域區(qū)間為(1,a-2)時,f(x)的值域為(1,+∞),求a的值.
(1)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
f(-x)+f(x)=loga
1+mx
-x-1
+loga
1-mx
x-1
=loga
1-m2x2
1-x2
=0
,對定義域內(nèi)的任意x恒成立,
1-m2x2
1-x2
=1,即(m2-1)x2=0

解得m=±1,經(jīng)檢驗m=-1成立.
(2)由(1)可得:y=loga
x+1
x-1
,由
x+1
x-1
>0
,解得x>1或x<-1.
∴函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>1或x<-1}.
由y=loga
x+1
x-1
,化為ay=
x+1
x-1
,解得x=
ay+1
ay-1
(y≠0),
f-1(x)=
ax+1
ax-1
(x≠0,a>0,a≠1)

(3)由(2)可知函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(1,+∞),
設(shè)g(x)=
x+1
x-1
,任取x1x2<-1或1<x1x2

g(x1)-g(x2)=
2(x2-x1)
(x1-1)(x2-1)
>0

∴g(x1)>g(x2),
∴函數(shù)g(x)=
x+1
x-1
在(-∞,-1)或(1,+∞)上單調(diào)遞減
,
∴當a>1時,f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,
當0<a<1時,f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增.
(4)∵1<x<a-2,
∴a>3,
由(3)可知f(x)在(1,a-2)上單調(diào)遞減.
f(a-2)=1,即loga
a-1
a-2
=1,化簡得a2-4a+1=0
,
解得a=2+
3
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知函數(shù)f(x)為一次函數(shù),其圖象經(jīng)過點(3,4),且
10
f(x)dx=1,則函數(shù)f(x)的解析式為______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)的反函數(shù)的圖象與y軸交于點
(如圖1所示),則方程的根是(   )
A.4B.3C.2D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)y=
x
x-2
(x>2)
的反函數(shù)的定義域為( (1,+∞) )
A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(0,1)D.(1,2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知y=f(x)的反函數(shù)為y=(
1
4
)x
,若f(x0)=-
1
2
,則x0的值是______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

在1張邊長為20的正方形鐵皮的4個角上,各剪去1個邊長是x的小正方形,折成1個容積是y的無蓋長方體鐵盒,則用x表示y的函數(shù)關(guān)系式是______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù),的反函數(shù),若),則的值為(   )
A.B.1C.4D.10

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知,求函數(shù)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

的值等于  (    )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案