若函數(shù)h(x)滿足

（1）h(0)=1，h(1)=0；

（2）對任意，有h(h(a))=a；

（3）在（0,1）上單調(diào)遞減。則稱h(x)為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù)

（1）判函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（2）若存在，使得h(m)=m，若m是函數(shù)h(x)的中介元，記時h(x)的中介元為xn，且，若對任意的，都有Sn< ,求的取值范圍；

（3）當(dāng)=0，時，函數(shù)y= h(x)的圖像總在直線y=1-x的上方，求P的取值范圍。

 

【答案】

 見解析

【解析】（1）函數(shù)是補(bǔ)函數(shù)。證明如下：

①；

②；

③令，有，

因為，所以當(dāng)時，，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，故函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減。

（2）   當(dāng)，由，得： 

①當(dāng)時，中介元；

②當(dāng)且時，由（*）可得或；

得中介元，綜上有對任意的，中介元（）

于是，當(dāng)時，有=

當(dāng)n無限增大時， 無限接近于， 無限接近于，故對任意的，成立等價于，即 ；

（3）   當(dāng)時， ，中介元是

①當(dāng)時， ，中介元為，所以點不在直線y=1-x的上方，不符合條件；

②當(dāng)時，依題意只須在時恒成立，也即在時恒成立，設(shè)，，則，

由可得，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，又因為=1，所以當(dāng)時， 恒成立。

綜上：p的取值范圍為（1，+）。

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的新定義，函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用以及分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 高考中，導(dǎo)數(shù)解答題一般有以下幾種考查方向：一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；二、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值；三、用導(dǎo)數(shù)求最值的方法證明不等式.來年需要注意用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的考查.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是同時滿足下列兩個性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：
①函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；
②在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
a
2
，且最大值是
b
2
．請解答以下問題
（1）判斷函數(shù)f(x)=x+
2
x
(x∈(0，+∞))是否屬于集合M？并說明理由；
（2）判斷函數(shù)g（x）=-x3是否屬于集合M？并說明理由．若是，請找出滿足②的閉區(qū)間[a，b]；
（3）若函數(shù)h(x)=
x-1
+t∈M，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M={f（x）|y=f（x）}，其元素f（x）須同時滿足下列三個條件：
①定義域為（-1，1）；
②對于任意的x，y∈（-1，1），均有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)；
③當(dāng)x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）∈M，證明：y=f（x）在定義域上為奇函數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)h(x)=ln
1-x
1+x
，判斷是否有h（x）∈M，說明理由；
（Ⅲ）若f（x）∈M且f(-
1
2
)=1，求函數(shù)y=f(x)+
1
2
的所有零點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

探究函數(shù)f（x）=x+
4
x
，x∈（-∞，0）的最大值，并確定取得最大值時x的值．列表如下：
請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
x … -3 -2.3 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.7 -1.5 -1 -0.5 …
y … -4.3 -4.04 -4.02 -4.005 -4 -4.005 -4.05 -4.17 -5 -8.5 …
（1）函數(shù)f（x）=x+
4
x
，x∈（-∞，0）在區(qū)間
（-∞，-2）
（-∞，-2）
上為單調(diào)遞增函數(shù)．當(dāng)x=
-2
-2
時，f（x）最大=
-4
-4
．
（2）證明：函數(shù)f（x）=x+
4
x
在區(qū)間[-2，0）為單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）若函數(shù)h(x)=
x2-ax+4
x
在x∈[-2，-1]上，滿足h（x）≥0恒成立，求a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試江西卷數(shù)學(xué)理科 題型：044

若函數(shù)h(x)滿足

(1)h(0)＝1，h(1)＝0；

(2)對任意a∈[0，1]，有h(h(a))＝a；

(3)在(0，1)上單調(diào)遞減．

則稱h(x)為補(bǔ)函數(shù)．已知函數(shù)h(x)＝(λ＞－1，p＞0)

(1)判函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

(2)若存在ｍ∈[0，1]，使得h(m)＝m，若m是函數(shù)h(x)的中介元，記p＝(n∈N+)時h(x)的中介元為xn，且Sn＝，若對任意的n∈N+，都有Sn＜，求λ的取值范圍；

(3)當(dāng)λ＝0，x∈(0，1)時，函數(shù)y＝h(x)的圖像總在直線y＝1－x的上方，求P的取值范圍．

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