Question

16．已知橢圓${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$，A、B是橢圓的左右頂點，P是橢圓上不與A、B重合的一點，PA、PB的傾斜角分別為α、β，則$\frac{{cos（{α-β}）}}{{cos（{α+β}）}}$=$-\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)P（cosθ，2sinθ），可得$tanα=\frac{2sinθ}{cosθ+1}，tanβ=\frac{2sinθ}{cosθ-1}$，代入$\frac{{cos（{α-β}）}}{{cos（{α+β}）}}$，化簡整理即可得出．

解答 解：設(shè)P（cosθ，2sinθ），
∴$tanα=\frac{2sinθ}{cosθ+1}，tanβ=\frac{2sinθ}{cosθ-1}$，$\frac{{cos（{α-β}）}}{{cos（{α+β}）}}=\frac{1+tanαtanβ}{1-tanαtanβ}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$．
故答案為：-$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)化簡求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．