Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，點(diǎn)P（

5

5

a，

2

2

a）在橢圓上，
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)Q在橢圓上，且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點(diǎn)P（

5

5

a，

2

2

a）在橢圓上，代入橢圓方程，可得

b2

a2

=

5

8

，利用e²=1-

b2

a2

，即可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線OQ的斜率為，則其方程為y=kx，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由條件得x02=

a2b2

k2a2+b2

，利用|AQ|=|AO|，求出x₀=

-2a

1+k2

，代入（1+k²）x₀²=-2ax₀，即可求直線OQ的斜率的值．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（

5

5

a，

2

2

a）在橢圓上，
∴

a2

5a2

+

a2

2b2

=1，
∴

b2

a2

=

5

8

，
∴e²=1-

b2

a2

=1-

5

8

=

3

8

，
∴e=

6

4

；
（2）設(shè)直線OQ的斜率為，則其方程為y=kx
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由條件得x02=

a2b2

k2a2+b2

∵|AQ|=|AO|，A（-a，0），y₀=kx₀，
∴（x₀+a）²+k²x₀²=a²
∴（1+k²）x₀²=-2ax₀①，
∵x₀≠0，∴x₀=

-2a

1+k2

代入①，整理得（1+k²）²=4k²×

a2

b2

+4
∴5k⁴-22k²-15=0
∴k²=5
∴k=±

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．