如圖,是橢圓的左、右頂點,橢圓的離心率為,右準線的方程為.

（1）求橢圓方程；
（2）設是橢圓上異于的一點,直線交于點,以為直徑的圓記為. ①若恰好是橢圓的上頂點,求截直線所得的弦長；
②設與直線交于點,試證明:直線與軸的交點為定點,并求該定點的坐標.

（1） （2） ①②

解析試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數(shù)法.關鍵是找全所需條件. 橢圓中三個未知數(shù)的確定只需兩個獨立條件，由可得值，（2） ①求圓被直線所截得弦長時，利用半徑、半弦長、圓心到直線距離三者成勾股列等量關系，先分別確定直線的方程與圓K的方程，②證明直線與軸的交點為定點,實質(zhì)為求直線與軸的交點.由①知，點是關鍵點，不妨設點的坐標作為參數(shù)，先表示直線的方程，與圓的方程聯(lián)立解出點P的坐標.由得直線的斜率，從而得直線的方程，再令,得點R的橫坐標為，利用點M滿足化簡得
試題解析：（1）由，解得，故
（2）①因為,所以直線的方程為，
從而的方程為 6分
又直線的方程為,故圓心到直線的距離為  8分
從而截直線所得的弦長為   9分
②證:設,則直線的方程為,則點P的坐標為,
又直線的斜率為,而,
所以,從而直線的方程為 12分
令,得點R的橫坐標為      13分
又點M在橢圓上,所以,即,故,
所以直線與軸的交點為定點,且該定點的坐標為      15分
考點：橢圓方程，直線與圓錐曲線位置關系，圓的弦長

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C：＝1(a>b>0)上兩點，已知m＝，n＝，若m·n＝0且橢圓的離心率e＝，短軸長為2，O為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足＋＝t (O為坐標原點)，當|－|＜時，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，點，過的直線交拋物線于兩點.
（1）若，拋物線的焦點與中點的連線垂直于軸，求直線的方程；
（2）設為小于零的常數(shù)，點關于軸的對稱點為，求證：直線過定點

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點為,拋物線上一點的橫坐標為2，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點作直線交拋物線于，兩點,求證: .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線在點，處的切線垂直相交于點，直線與橢圓相交于，兩點．

（1）求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離；
（2）設點到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓Ｃ：的左、右焦點和短軸的一個端點構成邊長為４的正三角形．
（1）求橢圓Ｃ的方程；
（2）過右焦點的直線與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點，若，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線，設點，，為拋物線上的動點（異于頂點），連結并延長交拋物線于點，連結、并分別延長交拋物線于點、，連結，設、的斜率存在且分別為、.

（1）若，，，求；
（2）是否存在與無關的常數(shù)，是的恒成立，若存在，請將用、表示出來；若不存在請說明理由.

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