Question

9．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且$\sqrt{3}$bsinA-acosB-2a=0．
（Ⅰ）求∠B的大�。�
（Ⅱ）若b=$\sqrt{7}$，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知可得sin（B-$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合B的范圍即可得解B的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形面積公式可求ac=2，由余弦定理可得：a²+c²=5，聯(lián)立即可求得a，c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$bsinA-acosB-2a=0．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBsinA-sinAcosB-2sinA=0，
∴$\sqrt{3}$sinB-cosB=2，可得sin（B-$\frac{π}{6}$）=1，
∵B∈（0，π），B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得：B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{2π}{3}$，
∴ac=2，①
∵b=$\sqrt{7}$，B=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理可得：a²+c²-2accos$\frac{2π}{3}$=7，解得：a²+c²=5，②
∴聯(lián)立①②可得：a=1，c=2，或a=2，c=1…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．