Question

函數(shù)是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且．
（1）求實數(shù)a，b，并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，f（-x）=-f（x），及．及構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程可求出實數(shù)a，b的值，進而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，任取區(qū)間（-1，1）上兩個任意的實數(shù)，然后分析它們所對應的函數(shù)值的大小，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）若函數(shù)是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
則f（-x）==-f（x）=-
解得b=0
又∵．
∴=
解得a=1
故
（2）任取區(qū)間（-1，1）上兩個任意的實數(shù)m，n，且m＜n
則f（m）-f（n）==
∵m²+1＞0，n²+1＞0，m-n＜0，1-mn＞0
∴f（m）-f（n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)
點評：本題考查的知識點是奇函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的證明，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出a值，（2）的關(guān)鍵是化簡后對函數(shù)值差的符號的判斷．