Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（1）=0，當x＞0時有

x f′(x)-f(x)

x2

＞0，則不等式xf（x）＞0的解集為（　�。�

A．（-1，0）

B．（-1，0）∪（1，+∞）

C．（1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：構(gòu)造g（x）=

f(x)

x

，可得g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，①當x＞0時有

x f′(x)-f(x)

x2

＞0，可得函數(shù)g（x）在x＞0時單調(diào)性，可得

f(x)

x

＞0=

f(1)

1

的解集，利用

f(x)

x

＞0?xf（x）＞0，即可得出不等式xf（x）＞0的解集；
②由于f（x）是偶函數(shù)，當x＜0時，xf（x）＞0?-xf（-x）＜0，解得即可．

解答：解：令g（x）=

f(x)

x

，則g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，①當x＞0時有

x f′(x)-f(x)

x2

＞0，∴函數(shù)g（x）在x＞0時單調(diào)遞增，∵f（1）=0，∴

f(x)

x

＞0=

f(1)

1

的解集為{x|x＞1}，又

f(x)

x

＞0?xf（x）＞0，∴不等式xf（x）＞0的解集為{x|x＞1}；
②由于f（x）是偶函數(shù)，∴當x＜0時，xf（x）＞0?-xf（-x）＜0，解得0＜-x＜1，即-1＜x＜0．
綜上可知：不等式xf（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．
故選B．

點評：通過構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，利用導數(shù)研究其單調(diào)性及利用偶函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．