Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-

3

sin²x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在x∈[0，

π

2

]的值域；
（Ⅲ）能否把函數(shù)f（x）的圖象進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭频玫揭粋�(gè)奇函數(shù)的圖象？如果能，寫(xiě)出一個(gè)平移的方法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，得出單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）運(yùn)用

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，得出值域．
（Ⅲ）y=sin（2（x+θ）+

π

3

）是奇函數(shù)時(shí)，2θ+

π

3

=kπ，k∈Z，即θ=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，取θ=-

π

6

，再向上平移即可，主要是理解y=sin2x 是奇函數(shù)．

解答： 解；函數(shù)f（x）=sinxcosx-

3

sin²x=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
（Ⅰ）2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z，
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴-

3

≤f（x）≤1-

3

2

，
即在x∈[0，

π

2

]的值域[-

3

，1-

3

2

]
（Ⅲ）f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
∵y=sin（2（x+θ）+

π

3

）是奇函數(shù)時(shí)，
∴2θ+

π

3

=kπ，k∈Z，
即θ=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
取θ=-

π

6

，
∴f（x）向右平移

π

6

得出y=sin（2x）-

3

2

，
再向上平移

3

2

個(gè)單位，得出y=sin2x，
故f（x）向右平移

π

6

，再向上平移

3

2

個(gè)單位，得出y=sin2x，為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，運(yùn)用不等式，性質(zhì)求解值域，圖象的平移，屬于中檔題，難度不大，但是考查了整個(gè)三角的綜合題目．