【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是, ,且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn),求線段的長(zhǎng).
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是, ,可得 ,橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得 ,從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線的方程為,
代入方程并整理,得,利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng).
試題解析:(1)由已知得,橢圓的焦點(diǎn)在軸上.
可設(shè)橢圓的方程為,
點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn),可得,
由題意可知,則有,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由已知得,直線的方程為,
代入方程并整理,得.
設(shè),則,
則
.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以、韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式,屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟;①作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上,還是在軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能;②設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ;③找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于、、的方程組;④得方程:解方程組,將解代入所設(shè)方程,即為所求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn), 和交于兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直,求的值;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當(dāng)時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)橢圓: 上一點(diǎn)向軸作垂線,垂足為右焦點(diǎn), 、分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),且, .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn),且以為直徑的圓恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).問(wèn)是否存在一個(gè)定圓與動(dòng)直線總相切.若存在,求出該定圓的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)是奇函數(shù)?并說(shuō)明理由;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)作直線, ,線段的垂直平分線與交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)若點(diǎn)是直線上兩個(gè)不同的點(diǎn),且的內(nèi)切圓方程為,直線的斜率為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海州市六一兒童節(jié)期間在婦女兒童活動(dòng)中心舉行小學(xué)生“海州杯”圍棋比賽,規(guī)則如下:甲、乙兩名選手比賽時(shí),每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或賽滿6局時(shí)比賽結(jié)束.設(shè)某校選手甲與另一選手乙比賽時(shí),甲每局獲勝的概率皆為,且各局比賽勝負(fù)互不影響,已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為.
(1)求的值;
(2)設(shè)表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),設(shè)為曲線在點(diǎn)處的切線,其中.
(Ⅰ)求直線的方程(用表示);
(Ⅱ)求直線在軸上的截距的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)直線分別與曲線和射線()交于, 兩點(diǎn),求的最小值及此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在剛剛結(jié)束的五市聯(lián)考中,某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析,規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀,成績(jī)統(tǒng)計(jì)后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
班級(jí) | 優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) |
甲班 | 18 | ||
乙班 | 43 | ||
合計(jì) | 110 |
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表;
(2)請(qǐng)問(wèn):是否有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與所在的班級(jí)有關(guān)系”?
(3)用分層抽樣的方法從甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研,然后再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行談話,求抽到的2名學(xué)生中至少有1名乙班學(xué)生的概率.
參考公式: (其中)
參考數(shù)據(jù):
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