Question

【題目】在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，給出以下命題：

①圓上任意一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓；

②若直線上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是則；

③橢圓上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是離心率不變的橢圓；

④曲線上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是曲線，是曲線上的任意一點(diǎn)，是曲線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為.

以上正確命題的序號(hào)是___________________（寫出全部正確命題的序號(hào)）.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

利用點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為這一變換過程，針對(duì)每一個(gè)方程給出變換后的正確方程，從而可得結(jié)果.

①圓上任意一點(diǎn)實(shí)施變換后，

顯然互換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓，故①正確；

②直線上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，互換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程，若應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是，那么且，故②錯(cuò)誤；

③橢圓上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，兩個(gè)橢圓的離心率相等，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是離心率不變的橢圓，故③正確；

④曲線上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是，

則曲線與曲線關(guān)于對(duì)稱，

設(shè)與平行且分別與曲線與曲線相切的直線方程分別為

與，根據(jù)判別式為零可得

與平行且分別與曲線與曲線相切是直線方程為和，

的最小值就是直線與的距離為，

所以，故④正確，故答案為①③④.