Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線上與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義首先求得橢圓的短半軸，進(jìn)而根據(jù)離心率求得橢圓的半焦距，根，和的關(guān)系求得，則橢圓方程可得．

（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去，根據(jù)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)判斷出判別式大于0，求得的范圍，設(shè)，的坐標(biāo)，則根據(jù)韋達(dá)定理求得，的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得的表達(dá)式，進(jìn)而可表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)推斷出，可知，求得，則直線方程可求得．

（1）由已知，，

解得，，

所以，

所以橢圓的方程為．

（2）由得，，

直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以△，

解得．

設(shè)，，，，

則，，

計(jì)算，

所以，，中點(diǎn)坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，所以，，

所以，

解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

所以直線的方程為或．