如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區(qū)O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為()，且，點P到平面的距離PH＝0.4(km)．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用．從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km．當山坡上公路長度為lkm(1≤l≤2)時，其造價為(l2＋1)a萬元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB＝1.5(km)，．

(I)在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最�。�

(II)對于(I)中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小．

(III)在AB上是否存在兩個不同的點，，使沿折線修建公路的總造價小于(II)中得到的最小總造價，證明你的結論．

答案：
解析：

　　解：

　　(I)如圖，，，，

　　由三垂線定理逆定理知，，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，

　　．

　　設，．則

　　．

　　記總造價為萬元，

　　據題設有

　　

　　當，即時，總造價最小．

　　(II)設，，總造價為萬元，根據題設有

　　．

　　則，由，得．

　　當時，，在內是減函數(shù)；

　　當時，，在內是增函數(shù)．

　　故當，即(km)時總造價最小，且最小總造價為萬元．

　　(III)解法一：不存在這樣的點，．

　　事實上，在上任取不同的兩點，．為使總造價最小，顯然不能位于與之間．故可設位于與之間，且＝，，，總造價為萬元，則．類似于(I)、(II)討論知，，，當且僅當，同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時，，取得最小值，點分別與點重合，所以不存在這樣的點，使沿折線修建公路的總造價小于(II)中得到的最小總造價．

　　解法二：同解法一得

　　

　　

　　

　　．

　　當且僅當且，即同時成立時，取得最小值，以上同解法一．


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區(qū)O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=
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，點P到平面α的距離PH=0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為
a
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萬元/km、當山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時，其造價為（l2+1）a萬元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=
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(km)．
（Ⅰ）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最��；
（Ⅱ）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最�。�
（Ⅲ）在AB上是否存在兩個不同的點D′，E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于（Ⅱ）中得到的最小總造價，證明你的結論、
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區(qū)O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且數(shù)學公式，點P到平面α的距離PH=0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為數(shù)學公式萬元/km、當山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時，其造價為（l2+1）a萬元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），數(shù)學公式．
（I）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最��；
（II）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最�。�
（III）在AB上是否存在兩個不同的點D'，E'，使沿折線PD'E'O修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論、

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科目：高中數(shù)學 來源：湖南省高考真題 題型：解答題

如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區(qū)O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，點P到平面α的距離PH=0.4（km）。沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用，從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km。當山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時，其造價為（l2+1）a萬元。已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=（km），
（Ⅰ）在AB上求一點D，使沿折線PDAD修建公路的總造價最��；
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最��；
（Ⅲ）在AB上是否存在兩個不同的點D′、E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于（Ⅱ）中得到的最小總造價，證明你的結論。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點和居民區(qū)的公路，點所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點到平面的距離（km）．沿山腳原有一段筆直的公路可供利用．從點到山腳修路的造價為萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km．當山坡上公路長度為km（）時，其造價為萬元．已知，，，．

（I）在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最��；

（II） 對于（I）中得到的點，在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最�。�

（III）在上是否存在兩個不同的點，，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：2007年湖南省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區(qū)O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且，點P到平面α的距離PH=0.4（km）．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用、從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km、當山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時，其造價為（l2+1）a萬元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），．
（I）在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最�。�
（II）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最�。�
（III）在AB上是否存在兩個不同的點D'，E'，使沿折線PD'E'O修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論、

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