Question

2．已知函數(shù)f（x）=log₂（1-x）+log₂（1+x），g（x）=$\frac{1}{2}$-x²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），求證：函數(shù)h（x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的定義域，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得出f（x）=log₂（1-x²），令1-x²=t，則f（x）=log₂t，求出t的范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域；
（II）先證明g（x）為（0，1）上的單調(diào)函數(shù)，再利用零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）有意義得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
∵f（x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）=log₂（1-x²），
令t=1-x²，則f（x）=m（t）=log₂t，t∈（0，1]．
∵m（t）=log₂t在（0，1]上是增函數(shù)，m（1）=0，
∴f（x）的值域?yàn)椋?∞，0]．
（Ⅱ）h（x）=log₂（1-x²）+$\frac{1}{2}$-x²，
先證明h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂為（0，1）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，
則h（x₁）-h（x₂）=log₂（1-x₁²）-log₂（1-x₂²）+x₂²-x₁²
=log₂$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$+（x₂²-x₁²），
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴1-x₁²＞1-x₂²＞0，x₂²＞x₁²，
∴$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞1，x₂²-x₁²＞0，
∴l(xiāng)og₂$\frac{1-{{x}_{1}}^{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$+（x₂²-x₁²）＞0，即h（x₁）＞h（x₂），
∴h（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
又h（0）=log₂1+$\frac{1}{2}$-0=$\frac{1}{2}$＞0，
h（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=log₂$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=-1＜0，
∴h（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上有唯一零點(diǎn)，即h（x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．