Question

在扶貧活動中，為了盡快脫貧（無債務）致富，企業(yè)甲將經營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3 600無后，逐步償還轉讓費（不計息）．在甲提供的資料中有：①這種消費品的進價為每件14元；②該店月銷量Q（百件）與銷售價格P（元）的關系如圖所示；③每月需要各種開支2 000元．

（1）當商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額；
（2）企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？

Answer 1

(1) 19.5元，450元；（2）20年.

試題分析：(1) 首先應用待定系數法根據已知圖形求出月銷量Q(百件)與銷售價格P（元）的關系式,顯然是一個分段函數;再將些函數代入該店月利潤余額為L(元)(由題意可得得L=Q（P-14）×100-3600-2000),從而月利潤余額是關于價格P的一個分段函數;每一段又都是一個關于P的二次函數,利用配方法求出各段的最大,取兩個最大值中的最大者即為所求;此問題注意統一單位;（2）設最早可望在n年后脫貧，由(1)可知月利潤扣除職工最低生活費的余額最大值，則可計算得每年的余額值乘以n后大于或等于債務：50000+58000即可，解此不等式可得問題答案．注意要將數學解答的結果還原成實際應用問題的答案．
試題解析：設該店月利潤余額為L，則由題設得L=Q（P-14）×100-3600-2000，    ①
由銷量圖易得
=       
代入①式得L=
    
(1)當時，=450元，此時元，當20<P≤26時，L_max=元，此時P=元。故當P=19.5元時，月利潤余額最大，為450元，
（2）設可在n年內脫貧，
依題意有解得   n≥20
即最早可望在20年后脫貧