Question

（2012•閘北區(qū)一模）證明下面兩個命題：
（1）在所有周長相等的矩形中，只有正方形的面積最大；
（2）余弦定理：如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則a²=b²+c²-2bccosA．

Answer 1

分析：（1）（法一）：設(shè)長方形的長，寬分別為a，b，由題設(shè)a+b為常數(shù)，結(jié)合基本不等式ab≤(

a+b

2

)2可證
 （法二）：設(shè)長方形的周長為l，長為x，則寬為

l-2x

2

，從而可表示長方形的面積S=x•

l-2x

2

=-(x-

l

4

)2+

l2

16

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可證
（2）（法一）：根據(jù)向量的數(shù)量積的性質(zhì)可知，c2=

BC

•

BC

=(

AC

-

AB

)• （

AC

-

AB

），整理即可
法二：以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0），而a2=|

BC

|2=（bcosA-c）²+（bsinA）²即可
法三：過AB邊上的高CD，則由勾股定理可得a²=BC²=CD²+BD²=（bsinA）²+（c-acosA）²，可證

解答：證明一：（1）設(shè)長方形的長，寬分別為a，b，由題設(shè)a+b為常數(shù)（1分）
由基本不等式：

a+b

2

≥

ab

，可得：ab≤(

a+b

2

)2，（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立，（1分）
即當(dāng)且僅當(dāng)長方形為正方形時，面積ab取得最大值(

a+b

2

)2．  （1分）
證明二：（1）設(shè)長方形的周長為l，長為x，則寬為

l-2x

2

           （1分）
于是，長方形的面積S=x•

l-2x

2

=-(x-

l

4

)2+

l2

16

，（4分）
所以，當(dāng)且僅x=

l

4

時，面積最大為

l2

16

，此時，長方形的

l

4

，即為正方形（2分）
（2）證法一：a2=

BC

•

BC

=(

AC

-

AB

)(

AC- AB

)   （4分）
=

AC

2-2

AC

•

AB

+

AB

2 
=

AC

2-2|

AC

|•

AB

cosA+

AB

2
=b²+c²-2bccosA．
故，a²=b²+c²-2bccosA．（4分）
證法二  已知△ABC中A，B，C所對邊分別為a，b，c
以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，
則C（bcosA，bsinA），B（c，0），（4分）
a2=|

BC

|2=（bcosA-c）²+（bsinA）²
a²=b²+c²-2bccosA．（4分）．
故，a²=b²+c²-2bccosA．（4分）．
證法三  過AB邊上的高CD，則a²=BC²=CD²+BD²
=（bsinA）²+（c-acosA）²
∴a²=b²+c²-2bccosA．
故a²=b²+c²-2bccosA．（4分）

點評：本題主要考查了基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用，及三角形中的余弦定理的證明，注意本題多種解法的應(yīng)用．