Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且經(jīng)過右焦點(diǎn)F₂的直線l與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）求△ABF₁的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求雙曲線E的方程；
（2）設(shè)直線方程為x=my+2（m≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，整理可得（m²-3）y²+4my+1=0，利用韋達(dá)定理，表示出${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2$×|y₁-y₂|，即可求得△ABF₁面積的取值范圍．

解答 解：（1）∵雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+1}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴a=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）設(shè)直線方程為x=my+2（m≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，整理可得（m²-3）y²+4my+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{4m}{3-{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{1}{{m}^{2}-3}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{12{m}^{2}+12}{（{m}^{2}-3）^{2}}}$
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2$×|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{12{m}^{2}+12}{（{m}^{2}-3）^{2}}}$
設(shè)m²-3=t，則t＞-3且t≠0，∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\sqrt{48（\frac{1}{t}+\frac{1}{8}）^{2}-\frac{3}{4}}$≥$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查面積的計算，屬于中檔題．