已知向量
a
=(sinx，2
3
sinx)，
b
=(2cosx，sinx)，定義f(x)=
a•
b
- 
3
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x+θ）（0＜θ＜π）為偶函數(shù)，求θ的值．
分析：（1）直接把向量代入函數(shù)f(x)=
a•
b
-
3
，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為求f(x)=2sin(2x-
π
3
)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x+θ）（0＜θ＜π）為偶函數(shù)，y=f（x+θ）在x=0處取最大值或最小值求θ的值．根據(jù)0＜θ＜π，求出θ的值．
解答：解：（1）f(x)=2sinxcosx+2
3
sin2x-
3

=sin2x+2
3
•
1-cos2x
2
-
3

=sin2x-
3
cos2x=2sin(2x-
π
3
)（4分）
令2kπ+
π
2
≤2x-
π
2
≤2kπ+
3π
2

得單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+
5π
12
，kπ+
11π
12
]，k∈Z．（6分）
（2）f(x+θ)=2sin(2x+2θ-
π
3
)，
由f（x+θ）為偶函數(shù)，
則f（x+θ）在x=0處取最大值或最小值．
∴sin(2θ-
π
3
)=±1，∴2θ-
π
3
=kπ+
π
2
，θ=
kπ
2
+
5π
12
，k∈Z．
又0＜θ＜π，得θ=
5π
12
或θ=
11π
12
．（12分）
點評：本題是基礎(chǔ)題，考查二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的最值，以及三角形的知識，是綜合題，考查計算能力，�？碱}型．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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