Question

已知k∈[-2，1]，則k的值使得過(guò)A（1，1）可以作兩條直線與圓 x²+y²+kx-2y-

5

4

k=0相切的概率等于（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,直線與圓的位置關(guān)系

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)構(gòu)成圓的條件得到等號(hào)右邊的式子大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集，然后由過(guò)已知點(diǎn)總可以作圓的兩條切線，得到點(diǎn)在圓外，故把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中得到一個(gè)關(guān)系式，讓其大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集，綜上，求出兩解集的并集即為實(shí)數(shù)k的取值范圍．最后利用幾何概型的計(jì)算公式求解即得．

解答： 解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+

1

2

k）²+（y-1）²=

1

4

k²+

5

4

k+1，
所以

1

4

k²+

5

4

+1＞0，解得：k＞-1或k＜-4，
又點(diǎn)（1，1）應(yīng)在已知圓的外部，
把點(diǎn)代入圓方程得：1+1+k-2-1.25k＞0，解得：k＜0，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-4）∪（-1，0）．
任取k∈[-2，1]，
則k的值使得過(guò)A（1，1）可以作兩條直線與圓x²+y²+kx-2y-1.25k=0相切的概率為P=

0-(-1)

1-(-2)

=

1

3

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了幾何概型，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，二元二次方程為圓的條件及一元二次不等式的解法．理解過(guò)已知點(diǎn)總利用作圓的兩條切線，得到把點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程其值大于0是解本題的關(guān)鍵．