Question

（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)均有：

．

（1）求；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)；

（3）令，求證：

 

Answer 1

（1），；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行賦值，求數(shù)列中某些項(xiàng)的值；（2）證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法：證明；二是等差中項(xiàng)法，證明，看是否從第一箱開始，若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可；（3）觀測(cè)數(shù)列的特點(diǎn)形式，看使用什么方法求和．使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源和目的．（4）在做題時(shí)注意觀察式子特點(diǎn)選擇有關(guān)公式和性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，這樣給做題帶來方便，掌握常見求和方法，如分組轉(zhuǎn)化求和，裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減．

試題解析：【解析】
（1）令得， 1分

令，得，∴ 2分

（2）令，得：

∴，又，

∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．∴

∴

∴ 8分

（3）∴

∴ 12分

考點(diǎn)：1、證明某數(shù)列等差數(shù)列；2、裂項(xiàng)求和．