Question

在數(shù)列{a_n}中，，當(dāng)n≥2時(shí)，有3a_n-2a_n-1+n+2=0，設(shè)b_n=a_n+n+1．
（I）求b₁，b₂；
（II）證明數(shù)列{b_n-1}是等比數(shù)列；
（III）設(shè)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）由b_n=a_n+n+1及3a_n-2a_n-1+n+2=0把n=1，2分別代入可求
（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1），，即，從而可證
（III）由（I）可得從而可求，則=，從而可利用裂項(xiàng)求和．
解答：解：（I）∵，b_n=a_n+n+1∴
當(dāng)n=2時(shí)，3a₂-2a₁+4=0可得
∴
（II）由3a_n-2a_n-1+n+2=0得，3（a_n+n）=2（a_n-1+n-1）
，n≥2即
∵
∴
（III）由（I）可得
∴2b_n-1+1=3b_n，所以
==
=
點(diǎn)評：本題目主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，而定義法是證明數(shù)列為等比（等差）數(shù)列的常見方法，裂項(xiàng)求和是數(shù)列求和的重要方法，要注意掌握．