設(shè)函數(shù),
,
其中|t|≤1,將f(x)的最小值記為g(t).
(1)求g(t)的表達(dá)式;
(2)對于區(qū)間[-1,1]中的某個t,是否存在實數(shù)a,使得不等式g(t)≤成立?如果存在,求出這樣的a及其對應(yīng)的t;如果不存在,請說明理由.
(1)g(t)=4t3-3t+3.
(2)對任意的實數(shù)a,=∈[-2,2]
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,=2,對應(yīng)的t=-1或
,
故當(dāng)t=-1或時,這樣的a存在,且a=1,使得g(t)≥
成立.
而當(dāng)t∈(-1,1]且t≠時,這樣的a不存在.
(1)
.
由(sinx-t)2≥0,|t|≤1,故當(dāng)sinx=t時,f(x)有最小值g(t),即
g(t)=4t3-3t+3.
(2)我們有.
列表如下:
t | (-1,- | - | (- | | ( |
g'(t) | + | 0 | - | 0 | + |
G(t) | ↗ | 極大值g(- | ↘ | 極小值g( | ↗ |
由此可見,g(t)在區(qū)間(-1,-)和(
,1)單調(diào)增加,在區(qū)間(-
,
)單調(diào)減小,極小值為g(
)=2,
又g(-1)=-4-(-3)+3=2
故g(t)在[-1,1]上的最小值為2
注意到:對任意的實數(shù)a,=∈[-2,2]
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,=2,對應(yīng)的t=-1或,
故當(dāng)t=-1或時,這樣的a存在,且a=1,使得g(t)≥成立.
而當(dāng)t∈(-1,1]且t≠時,這樣的a不存在.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x |
2 |
x |
2 |
4a |
1+a2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年重慶市高三上學(xué)期第五次測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
、設(shè)函數(shù),
,其中|t|≤1,將f(x)的最小值記為g(t).
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(2)對于區(qū)間[-1,1]中的某個t,是否存在實數(shù)a,使得不等式g(t)≤成立?如果存在,求出這樣的a及其對應(yīng)的t;如果不存在,請說明理由.
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