Question

(10分) 已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＝10n－n²，(n∈N^*)．
(1)求a₁和a_n；
(2)記b_n＝|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

(1) a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．(2) T_n＝

本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力
由S_n=10n-n²知S_n是關(guān)于n的無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)（n∈N^*），可知{a_n}為等差數(shù)列，求出a_n，然后再判斷哪些項(xiàng)為正，哪些項(xiàng)為負(fù)，然后求解T_n．
(1)∵S_n＝10n－n²，∴a₁＝S₁＝10－1＝9.
∵S_n＝10n－n²，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，
S_n－1＝10(n－1)－(n－1)²＝10n－n²＋2n－11，
∴a_n＝S_n－S_n－1＝(10n－n²)－(10n－n²＋2n－11)
＝－2n＋11.
又n＝1時(shí)，a₁＝9＝－2×1＋11，符合上式．
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝－2n＋11(n∈N^*)．
(2)∵a_n＝－2n＋11，∴b_n＝|a_n|＝
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
n≤5時(shí)，T_n＝＝10n－n²；
n>5時(shí)T_n＝T₅＋＝25＋＝25＋(n－5)²＝n²－10n＋50，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n＝