Question

20．已知某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率．
（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？（X²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+2}{n}_{+1}}$，X²＞6.635時有99%的把握具有相關(guān)性）

Answer 1

分析 （1）由分層抽樣的特點可得樣本中有25周歲以上、下組工人人數(shù)，再由所對應(yīng)的頻率可得樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上、下組工人的人數(shù)分別為3，2，由古典概型的概率公式可得答案；
（2）由頻率分布直方圖可得“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手的人數(shù)，以及“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手的人數(shù)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表，可得k²≈1.79，由1.79＜2.706，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名，
所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05=3（人），記為A₁，A₂，A₃.25周歲以下組工人有40×0.05=2（人），記為B₁，B₂．
從中隨機抽取2名工人，所有可能的結(jié)果共有10種，即：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂） （B₁，B₂）．其中，至少抽到一名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，是：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂）．
故所求概率P=0.7．
（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25=15（人），“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375=15（人），據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

	生產(chǎn)能手	非生產(chǎn)能手	總計
25周歲以上組	15	45	60
25周歲以下組	15	25	40
總計	30	70	100

所以得：X²=$\frac{100×（15×25-15×45）^{2}}{60×40×30×70}$≈1.79．
所以不能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．

點評 本題考查獨立性檢驗，涉及頻率分布直方圖，以及古典概型的概率公式，屬中檔題．