【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng),時(shí)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

(2)當(dāng)時(shí)對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè)函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)處的切線分別為,,,,求實(shí)數(shù)最小值.

【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是(2)(3)

【解析】

試題分析:(1)先化簡分段函數(shù),分段分別求導(dǎo),即再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn):當(dāng),無零點(diǎn),單調(diào)減;當(dāng),有一個零點(diǎn),列表分析得上單調(diào)遞減;上單調(diào)遞增;最后綜合函數(shù)圖像得函數(shù)單調(diào)區(qū)間(2)不等式恒成立問題,一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題,即,因此轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值:當(dāng),時(shí),求其定于區(qū)間上零點(diǎn)為1,列表分析函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)極值,即最值,最后解不等式得負(fù)數(shù)的取值范圍;(3)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得,由分段點(diǎn)可確定,而需分類討論:若,;,,分別代入,探求實(shí)數(shù)解的情況:,,先求出的取值范圍,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值

試題解析:函數(shù)求導(dǎo)得

(1)當(dāng),時(shí)

,恒成立,所以上單調(diào)遞減

,,解得(舍去),

,上單調(diào)遞減;

,,上單調(diào)遞增;

綜上,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,單調(diào)增區(qū)間是

(2)當(dāng),時(shí),,,

所以當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞增;

所以函數(shù)上的最小值為,

所以恒成立,解得(舍去),

又由,解得,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

(3)由知,,,

,,

所以,解得不合題意,

,

整理得,

,,則,

所以,設(shè),

當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增;

所以函數(shù)的最小值為

故實(shí)數(shù)的最小值為

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