Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若M是棱PC的中點，求四面體M-PQB的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出四邊形BCDQ為平行四邊形，從而CD∥BQ．又QB⊥AD．從而BQ⊥平面PAD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）證明BC⊥平面PQB，利用三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q為AD的中點，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）解：PA=PD=2，Q是AD的中點，
∴PQ⊥平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
∵DCBQ是矩形，
∴BC⊥QB，
∵PQ∩QB=Q，
∴BC⊥平面PQB，
∴四面體M-PQB的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PQ×QB×\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．