Question

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點(diǎn)．
（i）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；
（ii）若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值．

Answer 1

(1)；(2) （i）,（ii）

試題分析：（1）由題意得 又，解得，．因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                               ……4分
（2）（i）假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，．解方程組得，，
所以．               ……6分
設(shè)，由題意知，所以，即，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002653786280.png" style="vertical-align:middle;" />是的垂直平分線，所以直線的方程為，即，因此，              ……8分
又，所以，故．
又當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立．
綜上所述，的軌跡方程為．                    ……10分
（ii）當(dāng)存在且時(shí)，由（1）得，，
由解得，，        
所以，
，．                     ……12分
由于
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是．……14分
當(dāng)，．當(dāng)不存在時(shí)，．綜上所述，的面積的最小值為．……16分
解法二：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240026555181798.png" style="vertical-align:middle;" />，
又，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)面積的最小值是．
當(dāng)，．
當(dāng)不存在時(shí)，．
綜上所述，的面積的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯(lián)立方程，同時(shí)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；而對(duì)于最值問題，則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示，然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合表達(dá)式的形式選取最值的計(jì)算方式.