Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義域在R上的函數(shù)，對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1
（1）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1；
（2）證明：函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x＜0，則-x＞0，由條件得到0＜f（-x）＜1，令x=y=0，求出f（0）=1，令y=-x，得到f（x）•f（-x）=1，從而得證；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，令x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，由條件得到f（x₁-x₂）=

f(x1)

f(x2)

＞1，可將x，y都換成

x

2

，則f（x）=f²（

x

2

）≥0，得到f（x）＞0，從而得證．

解答： 證明：（1）令x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，
∴0＜f（-x）＜1，
∵對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y），
∴令x=y=0，則f（0）=f²（0），即f（0）=0或1，
若f（0）=0，則f（x）=0，這與x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1矛盾，
∴f（0）=1，
令y=-x，則f（0）=f（x）•f（-x）=1，
∴0＜

1

f(x)

＜1，即f（x）＞1，
故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1；
（2）∵對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y），
即有f（x）=

f(x+y)

f(y)

，
∴f（x₁-x₂）=

f(x1)

f(x2)

，
令x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，
∴f（x₁-x₂）＞1，即

f(x1)

f(x2)

＞1，
∵對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）f（y），
∴可將x，y都換成

x

2

，則f（x）=f²（

x

2

）≥0，顯然f（x）=0不成立，
故f（x）＞0恒成立，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷及證明，注意定義的運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法和賦式法，正確賦值和賦式是迅速解題的關(guān)鍵．